正弦波

公開：2025/9/28

波の中でも正弦波は，音波，電波，光など，様々な場所で観測されます．正弦波は，変化の仕方が正弦関数（三角比のサイン）で表されます．

振幅（円の半径） $A$	：
振動数 $f$	：
波の速さ $v$	：

正弦波

波源が単振動をする場合，媒質の各点は波源よりも遅れて単振動するので，正弦波が生じる．各点における，元の位置からのズレは，変位という．

図について

横波の場合のモデル．この図では，角振動数と波の速さを変更することができ，波長は適切な値が設定されます．スライダを動かすことで， $v=fλ$ についてよく分かるでしょう．

波の要素

山：波形の最も高いところ
谷：波形の最も低いところ
振幅 $A$ ：山の高さ・谷の深さ
波長 $\lambda$ ：波一つ分の長さ．山と山の間など．
波の速さ $v$ ：山や谷が進む速さを指す．
周期 $T$ ：媒質の各点が１回振動するのにかかる時間
振動数 $f$ ：１秒あたりに振動する回数

これらの要素の関係式は，以下の通り．

v = f \lambda

f = \frac {1} {T}

正弦波の具体例

音波：縦波だが，正弦波で表される．
電磁波：光（可視光），赤外線，電波など．

正弦波の式

波源は単振動しており，波は $x$ 軸の正の向きに速さ $v \text{[m/s]}$ で伝わると仮定する．
正弦波の振幅 $A \text{[m]}$ ，周期 $T \text{[s]}$ ，波長 $\lambda \text{[m]}$ とおく．
原点 $x=0$ にある波源の，時刻 $t \text{[s]}$ での変位 $y \text{[m]}$ は，次のように表される．

y = A \sin \frac { 2 \pi } { T } t

ここで，位置 $x \text{[m]}$ （点Pとする）にある媒質の，時刻 $t \text{[s]}$ における変位 $y \text{[m]}$ を考える．
点Pに原点の振動が伝わるのにかかる時間 $t _ { 0 } \text{[s]}$ は，次のように表される．

t _ { 0 } = \frac { x } { v } \text{[s]}

したがって，時刻 $t \text{[s]}$ での点Pの変位 $y$ は，時刻 $(t-t_{0}) \text{[s]}$ での原点の変位と同じである．ゆえに，

y = A \sin \frac { 2 \pi } { T } ( t - t _ { 0 } ) = A \sin \frac { 2 \pi } { T } ( t - \frac { x } { v } )

ここで， $v=\frac{\lambda}{T}$ より，正弦波の式は次のようになる．

y = A \sin 2 \pi ( \frac { t } { T } - \frac { x } { \lambda } )